ウマ娘のアプリがリリースされて3周年が経ちしました。
3周年の日に配信されたパカライブでは、新たなウマ娘がたくさん登場し、Twitter(現X)は大いに盛りあがりました。
すでに実装済みのウマ娘だけでなく、今回発表された新たなウマ娘もとても魅了的で、推しウマ娘がさらに増えてしまいます。
そんな数多くの魅力的なウマ娘のなかで、今回の記事は3周年で公開された新ウマ娘・ジェンティルドンナに注目します。
ジェンティルさんもいくつもの魅力がりますが、ウマ娘ユーザーの度肝を抜かれたのは彼女のパワーでしょう。
その発端となったのは、3周年目に公開された記念シナリオです。
このシナリオでは、雑誌の特集号の取材のために乙名史記者がいろいろなウマ娘のもとを訪れます。
そのシナリオにジェンティルドンナは登場します。
乙名史記者はジェンティルドンナの前にオルフェーヴルの取材をしていました。その取材のことを聞いたジェンティルドンナはオルフェーヴルに対抗し自身の強さを証明しようとします。
そこでジェンティルドンナはおもむろに鉄球を取り出し、驚くことにいとも簡単に鉄球を潰してしまいました(図1)。それを見た乙名史記者も顔を青ざめるてメチャクチャドン引きしてきます。
しかし、鉄球を潰すためには一体どれだけの圧力が必要なのでしょうか。
すでに何人かの方が圧力を概算していますが、その多くは実験事実と合わない結果です。
本記事の目的はジェンティルドンナが鉄球をにぎりつぶすのに必要な握力を概算することです。
ただし、鉄球を元の体積の半分以下に潰すことは、現代の技術では実験的な検証が不可能であるため、本記事の内容が物理的に正しいかどうかは判断できない問題です。そのため、こういったモデルを仮定すると、この圧力が算出される、以上のことは語り得ません。
図1 鉄球をいとも簡単につぶすジェンティルドンナと青ざめる乙名史記者
ジェンティルドンナの握力を求めた一番有名、バズったのは柳田理科雄のポストであろう。
柳田氏は2024年2月27日にTwitterにおいて、次のポストをしている[1]。
柳田氏はジェンティルドンナが加えた荷重を114万tと、単純計算から求めている。これはYahooニュースでも取り上げられ、多くの人が知ることとなった[2]。
しかし、柳田氏のポストには計算方法が一切述べられておらず、加えて縮めるのに必要な圧力の体積弾性率も、圧力から荷重に変換するために必要な手のひらの面積も記載されていない。そのため、この計算が正しいかどうかを第三者がチェックすることはできないが、このポストを手がかりに、柳田氏の計算の再構成を試みる。
はじめに、用いた計算式である。みなさんご存知の通り、物質に等方的な圧力$P$を印加すると、物質の体積${V}$は減少する。そしてこのとき、初等的な材料力学のテキストをひらけば、物質の圧力変化${dP}$と体積変化${dV < 0}$の関係は次の式が紹介されている[3]。
$$
dP=-B_0\dfrac{dV}{V} \tag{1}
$$
ここで${B_0}$は比例定数で、体積弾性率と呼ばれる物理量である。体積弾性率は値が大きいほど圧縮するために必要な圧力が大きいことを表し、単位はGPa(ギガパスカル)を用いることが多い(圧力スケールについては後述)。体積弾性率であるが、鉄のその一般的な値は${B_0}$=100 ~ 170 GPaと広い値が報告されている[4]。手のひらの面積は、柳田氏が過去に自身が書いた記事で150 cm${^2}$だと仮定しているので、今回もその値を用いたと推察される[5]。ただし、この150 cm${^2}$は柳田氏が自ら誰かの手を測定し、そこから統計的な平均を求めたわけではなく、過去に誰かが測定した文献から引用しているはずである。しかし、柳田氏はそのもととなる引用文献を示していない。
以上の準備をもとに、柳田氏の計算を再現する。
計算は逆になるが、初めに荷重と手のひらの面積から圧力を求める。ここで重力加速度は9.8 m/s${^2}$とする。
$$
1.1\times10^{9} \,\textrm{kg}\times9.8\, \textrm{m}/\textrm{s}^2\div0.015\, \textrm{m} \sim 720\,\textrm{GPa}
$$
したがって柳田氏が求めた圧力は720 GPa(ギガパスカル)である。ここでまた見慣れない単位が出てきたが、圧力スケールについては後で説明をする。さて、我々はこの値を目指し、式(1)を用いて再計算する。式(1)であるが、微分方程式になっているため、この方程式を解き、${P}$を${V}$の関数と表すと次のようになる。
$$
P=B_0\ln\dfrac{V_0}{V}\tag{2}
$$
${V_0}$は圧縮前の、${V}$は圧縮後の体積である。さらに、鉄球は球形であるので、圧縮前と後の直径をそれぞれ${r_0}$と${r}$とすると、体積の相似比の関係から次の式が成り立つ。
$$
\dfrac{V_0}{V}=\dfrac{r_0^3}{r^3}
$$
この式を式(2)に代入すると、
$$
P=3B_0\ln\dfrac{r_0}{r}\tag{3}
$$
と式を変形できる。式(3)に柳田氏が見積もった直径を用いると、
$$
P=5.47B_0
$$
となる。したがって、${B_0}$を125 GPaとすれば、確かに柳田氏の結果を再現できる。
他にも叢雲氏がニコニコ動画に『【ゴリラ?】ジェンティルドンナの握力を計算したらヤバ過ぎる結果になった』にアップロードし、ジェンティルドンナの握力を求めている[6]。
この動画では実際にどのような計算で握力を求めたかが詳細に説明されているので、ここでは説明しないが、求め方は柳田氏が求めた手法と同じである。ただし、手のひらの面積や体積弾性率をどの文献から引用したかは不明である。さて、この動画で求められたジェンティルドンナの圧力は823 GPaであり、荷重は126万tであった。
柳田氏と叢雲氏の圧力の結果を比較すると、100 GPa程度の差異はあるものの、数百GPaのオーダーは同じである。両者の差は鉄球の体積の見積りと体積弾性率の違いに帰すことができるだろう。
この妥当性を議論する前に、圧力の大きさについて補足を加える。長さや重さなどの物理量とは異なり、ほとんどの人は圧力の大きさについてのイメージができないと思われる。これについては圧力の比較をご覧いただきたい[7]。
我々がよく目にする圧力は大気圧の1000hPa(ヘクトパスカル)だろう。これは1気圧と表すこともある。圧力の単位の前につくhやGはSI接頭辞とよばれ、hは${10^3}$をGは${10^9}$を表す。そのため、1 GPaは1万気圧と表記されることもあり、先ほど引用した、823 GPaは1気圧の823万倍の823万気圧となる。Wikipediaの圧力の比較の記事を見ると、823 GPaは地球の中心圧力(360 GPa)の2倍以上であるため、非常に大きな圧力であると感じる人が多いのではと思う。ただ、高圧物理に親しんでる私からすると、鉄球の体積が半分以下まで小さくなることを圧力としては非常に小さい。
多くの人にとって馴染みのないことだと思うが、圧力下で体積を求める研究はよく行われている。鉄はふるくから知られている物質であるため、圧力下での物質研究の蓄積も豊富にある。英語のWikipediaには、鉄の圧力-温度相図について詳しく紹介されているページもある[8]。
このページの4枚目に室温における、鉄の体積の圧力依存性が報告されている。このグラフでは20 GPaまでのデータしか掲載されていないが、もっと高圧力下の300 GPaまでの報告もある[9]。この報告だと、常圧でモル体積が7.0 cm${^3}$/molであり、300 GPaでは4.2 cm${^3}$/molまで体積が圧縮される。これだけ聞くと、やっぱり圧力はその程度かと思う方もいるかもしれない。しかし、それ以下に体積を圧縮しようとした場合、圧縮するのに必要な圧力は発散的に増大するのである。これは多くの人の直感と合致すると思うが、例えば常圧近傍の低圧領域で体積を1 %圧縮するために必要な圧力が1 GPaであった場合、100 GPaの圧力領域で1 %程度体積を圧縮しようとしても1 GPa以上の圧力が必要になる。つまり、印加圧力が大きくなるほど圧縮に必要な圧力は増していくのである。これが意味することは体積弾性率が圧力下で大きくなるということである。
柳田氏と叢雲氏は式(1)を用いて圧力下の体積を求めているが、この式は体積弾性率が圧力下でも一定であるという重要な条件がある。つまり、式(1)を用いることができるのは、体積弾性率が同じであると仮定できる低圧領域だけなのである。この低圧領域がどの程度を指すのかは物質により異なるので、一概には言えないが、おおよそ10 GPaから20 GPaの間だというのが私の経験談である。図2に式(1)から導出した規格化した体積の規格化した圧力の依存性を示す[10]。式(1)は${V/V_0}$が0.4程度まで直線的に圧力に比例し、0.2で立ち上がり、そして0で発散的に増大している。しかし、現実の物質は体積弾性率が圧力下で増大するため、圧力の発散的な増大はより小さい体積変化率から見られるのである。
図2 規格化した体積の規格化した圧力の依存性。図中の曲線は文献[10]のFig.1を私が改めて描き直した。
ここで、図1のジェンティルドンナの手にある圧縮前と後の鉄球の大きさを見てみると、その大きさは前と後で半分よりも小さくなっています。したがって、式(1)を今回の計算で用いることは不適当だと断定できます。
そしてここからが本題です。ではジェンティルドンナの手の握力はどの程度なのでしょうか?本記事はより現実に即して、もっともらしい彼女の握力を求めます。
何度か述べた通り、体積弾性率を一定であると仮定する式(1)を、ジェンティルドンナの握力の計算に用いるのは不適当です。
そこで登場する新たな式がバーチン・マーナハンの式(以下BH式)です[11,12]。BH式は高圧領域まで幅広い圧力領域で成立する、体積と圧力の関係を表した式です。具体的には次の式で表されます。
$$
P(V)=\dfrac{3B_0}{2}\left[\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\frac{7}{3}}-\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\frac{5}{3}}\right]\left\{1+\frac{3}{4}(B_0'-4)\left[\left(\frac{V_0}{V}\right)^{\frac{2}{3}}-1\right]\right\}\tag{3}
$$
ここで${B_0}$は先ほどと同じく体積弾性率で、${B_0'}$は${B_0}$の微分です。${V_0}$は圧縮前の基準体積で、${V}$は圧縮後の体積です。注意していただきたいのは、体積から圧力を求める場合は、圧縮前と後の体積比がわかればよいので、体積の絶対値は不要だということです。
ここから実際にジェンティルさんが鉄球に加えた圧力を求めますが、もう一つ考慮しなければならないこととして、熱力学的条件がある。高校/大学の物理で習う通り、物質に対して外から圧力を加えると、物質の内部エネルギーが上昇する。この時2つの条件が考えられ、ひとつは物質が内部エネルギーを溜め込み温度を上昇させる場合(断熱変化)と、もうひとつは熱として放出して温度を一定に保つ場合(等温変化)である。固体の圧縮では断熱変化と等温変化では体積弾性率の値が異なるため、どちらの条件が適しているかは検討しなければならない。ジェンティルドンナが鉄を圧縮する動画をみると、圧縮にかかる時間はわずか3秒程度であるため、ほとんど断熱変化に近いよう考えられる。ただ、後で理由を述べるが、この変化は等温変化と考える方が無難である。
もう一つ考慮するべき条件として、圧力の応力分布を考えなければなりません。ただ、不均一な圧力が鉄球に加わると、鉄球は砕けてしまうため、等方的な圧力が鉄球に印加されてる仮定することが妥当である。
以上の準備をもとに実際にジェンティルさんの手の圧力を求める。
はじめに鉄球の体積変化率を求める。はじめの鉄球の直径を${r}$とすると、適当な画像解析ソフトを用いることで、圧縮後の鉄球の直径は0.18${r}$であることがわかる(図2)。
図2 圧縮前後の鉄球の大きさ
したがって体積の変化率${V_0/V}$は
$$
V_0:V=r^3:(0.18r)^3=1:0.0058
$$
になる。
次に体積弾性率${B_0}$とその微分${B'_0}$を考えますが鉄と言ってもいくつかの種類があります。今回は${\alpha}$-Feだと仮定して、それらの値${B_0}$=164 GPa、${B'_0}$=5.29を用いて計算する[*]。ただし、鉄球の結晶構造は10 GPaでα-Feからε-Feに構造変化するため、10 GPa以上ではε-Feの体積弾性率を用いなければならないが、本記事ではα-Feの結晶構造が維持されていると仮定する。
これらの値をBH式に代入すると、ジェンティルドンナが鉄球に加えた圧力がもとまり、その値は1200PPa(ペタパスカル)になる。私あまりにも大きすぎて私も理解ができません。ペタは${10^{15}}$を意味するので、10兆気圧に相当します、と言われてもまだピンとはきません。そこでwikipediaの圧力の比較をみてみると、ペタパスカル領域の圧力は核弾頭の爆発時の圧力、太陽の核の内部の圧力に相当するということで、ハチャメチャに強い圧力であることがわかります。とはいっても、wikipediaに掲載されている最も大きな圧力の太陽の核の内部の圧力は250 PPaであるので、ジェンティルドンナの手の圧力1200 PPaに比べれば、わずか1/10にしかすぎない。ジェンティルドンナがいかに強い握力を発揮しているかがわかります。
さらに、ジェンティルドンナが鉄球にした仕事を求めます。等温変化を仮定しているので、BH式を始状態から終状態までを積分すればよい。Wolfram alphaを用いて計算すると、ジェンティルドンナが鉄球を握っている時、${3.4\times10^{15}}$ Jもの仕事を鉄球にしていることになる。先ほど断熱変化が不適当だと述べたが、その理由はここにある。もし断熱変化だとすると、膨大なエネルギーが鉄球に蓄えられことになる。蓄えられたエネルギーは鉄球の温度上昇に使われるが、固体の鉄球の比熱を0.444 kJ/kg K [4]、鉄球の質量をおおよそ3 kgだと仮定すると、ジェンティルドンナが鉄球を握ったとき、鉄球の温度は${2\times10^{12}}$ Kまで上昇することになる。実際には鉄の沸点は約2600 Kなので[4]、もし断熱変化だとすると、ジェンティルドンナが鉄球を握った瞬間に鉄は蒸発します。しかし図1を見ると、ジェンティルドンナが潰した鉄球は固体状態を維持しているので、膨大なのエネルギーがどこかに逃げる等温変化だと考えるのが妥当です。wikipediaでエネルギーの比較をみると、${3.4\times10^{15}}$ Jはコバルトで作られた核爆弾や阪神淡路大震災で放出されたエネルギーと同程度です。ジェンティルさんは握った後の鉄球を何気なくもっていますが、その実、その鉄球は核爆弾並みのエネルギーを秘めたとても危険なものになっています。シナリオを見ればわかりますが、ジェンティルさんが鉄球を潰すのはこの一回ではなく、これまでにいくつもの鉄球を潰してきました。その鉄球がどこに置かれてるかわかりませんが、ジェンティルさんに潰された鉄球がトレセン学園にたくさん転がっているならば、なにかの拍子に鉄球が爆発すれば、トレセン学園だけでなく、東京都をも壊滅的な被害をもたらす可能性すらある。また、エネルギー保存則を考えると、鉄球に${3.4\times10^{15}}$ Jのエネルギーを与えるためには、それに相当するエネルギーがジェンティルドンナが有していなければならない。
ここまでくると、ジェンティルドンナが鉄球を捻り潰したことが以下に荒唐無稽かがわかるだろう。物質研究において圧力を使うことはありふれたことであるが、その圧力はせいぜい300 GPa程度である*1。したがって、鉄を元の直径の0.2倍まで圧縮するために必要な圧力が1200 PPaで充分かは現代の高圧物理では答えられない。もしかすると、1 PPaでは原子間の他の相互作用が強くなり、もっと高い圧力を要することも考えられる。しかし、いずれにしても、ジェンティルドンナが並外れたという表現では言い表せないほどの怪力の持ち主であることに変わりない。
[1]柳田理科雄, X, https://twitter.com/KUSOLAB (2024)
[2]茶っプリン, "『ウマ娘』ジェンティルドンナの最大筋力は570万t以上！？マンガ・ゲームを科学的に調べる「空想科学研究所」の検証が話題に", Yahoo!Japan ニュース, 2024年2月28日, https://news.yahoo.co.jp/articles/cd993214af05e9643c23229a6879c23777b70344 (2024年4月24日 閲覧)
[3]東京大学工学教程編纂委員会 編, 『材料力学 材料力学II』, 東京大学出版会
[4]国立天文台, 『理科年表』, 丸善書店, 2013
[5]柳田理科雄, "空想科学研究所 ―有名映画のおうちシーンを考察してみた". LIFE LABEL, 2022年8月25日,
https://lifelabel.jp/magazines/514/#:~:text=%E6%88%90%E4%BA%BA%E7%94%B7%E6%80%A7%E3%81%AE%E6%89%8B%E3%81%AE%E3%81%B2%E3%82%89%E3%81%AE,600%E6%9C%AC%E3%81%AB%E3%81%AA%E3%82%8A%E3%81%BE%E3%81%99%E3%80%82 (2024年4月24日 閲覧)
[6]叢雲,"【ゴリラ?】ジェンティルドンナの握力を計算したらヤバ過ぎる結果になった", ニコニコ動画, 2024/02/26 (2024年4月28日 閲覧) https://www.nicovideo.jp/watch/sm43452515
[7]「圧力の比較」『フリー百科事典 ウィキペディア日本語版』, (2024年4月24日 閲覧) http://ja.wikipedia.org/w/index.php?curid=387353
[8]「Allotropes of iron」『Wikipedia, the free encyclopedia』, (2024年4月24日 閲覧) https://en.wikipedia.org/wiki/Allotropes_of_iron
[9]H. K. Mao et al., "Static compression of iron to 300 GPa and Fe0.8Ni0.2 alloy to 260 GPa: Implications for composition of the core" J. Geophys. Res., 95, 21737 (1990)
[10]桂 智男 et al., "バーチ・マーナハン状態方程式の平易な導出と他の状態方程式との比較" 高圧力の科学と技術, 30 (2020)
[11]F. Birch, "Finite Elastic Strain of Cubic Crystals" Phys. Rev., 71, 809 (1947)
[12]FD. Murnaghan, "The Compressibility of Media under Extreme Pressures". Proc Natl Acad Sci USA 15, 244 (1944
[1]https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/0022369768901315
